Следует писать с большой буквы (как и фазы Луны).
Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Верны оба варианта, см. в словарях.
Верно: беспружинный.
Оба варианта верны.
Корректно: с изображением оленя и двух собак.
Правилен второй вариант.
Ничем. Это равноправные орфографические варианты.