Корректно: депутат Государственной Думы 2-го и 4-го созывов.
В приведенном примере правильно со строчной. С прописной корректно как первое слово в официальных названиях: Государственный исторический музей, Государственный реестр РФ. В остальных случаях, как правило, написание со строчной.
Правильно: государственный контракт.
Верно: комитет Государственной Думы, Комитет Государственной Думы (далее - название комитета).
Правильно: Государственный исторический музей, при неофициальном употреблении: Исторический музей.
Нет, правильно со строчной: проводились все виды испытаний, включая государственные.
Сейчас следует писать эту должность строчными буквами.
Это сочетание пишется строчными буквами, если оно не является полным официальным названием документа.