Структурный принцип пунктуации требует постановки запятых в приведенных Вами примерах. Однако в некоторых случаях действие структурного принципа ограничено. Д. Э. Розенталь писал о таком ограничении для распространенных определений: «Не обособляются распространенные определения <...> стоящие после определяемого существительного, если последнее само по себе в данном предложении не выражает нужного смысла и нуждается в определении: Марья Дмитриевна приняла вид достойный и несколько обиженный (Т.) — сочетание слов приняла вид не имеет смысла; Чернышевский создал произведение в высшей степени оригинальное и чрезвычайно замечательное (Д.П.); Вы выбрали судью довольно строгого (Л.); Вернер — человек замечательный по многим причинам (Л.); Если вы человек себя уважающий… то непременно напроситесь на ругательства (Дост.); Попытки писать просто приводили к результатам печальным и смешным (М.Г.) — без последующих двух определений существительное не выражает нужного понятия; Это была улыбка необыкновенно добрая, широкая и мягкая (Ч.); Нас встретил мужчина стройный и приятной наружности; С портрета смотрит на вас лицо умное и весьма выразительное (ср.: …лицо женщины, поразительно красивое); Все они оказались учениками хорошо подготовленными; Деление — действие обратное умножению; Мы часто не замечаем вещей куда более существенных; Вошёл пожилой человек с черепом лысым, как у апостола». Примеры, которые Вы привели, подходят под это правило.

Оба варианта следует признать грамотными, но первый стилистически более нейтральный и легче воспринимается.

Обосновать можно наличие знака. Отсутствие знака обосновать можно далеко не всегда. Запятая не ставится, потому что нет оснований для ее постановки, – вот единственное объяснение, которое можно дать в Вашем случае.

Правильно: Хочется отметить оперативную работу сотрудников при ответах на вопросы, возникавшие в ходе подготовки отчетности. Слово вопросы стоит в форме винительного падежа, следовательно, и относящееся к нему определение возникавшие тоже должно стоять в форме винительного падежа.

Обоснование связано с теорией слогораздела. Вот подробности: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part1.htm#7

Запятая между главной частью и придаточной, присоединяемой простым союзом или союзным словом, не ставится, если придаточная часть усечена до одного союзного слова (одиночно употребленное союзное слово теряет функцию придаточного предложения).

В сложносочиненных предложениях, объединенных вопросительной интонацией, запятая не ставится.

Запятая не ставится, здесь причастный оборот входит в состав сказуемого (видел лежащей). Причастие не согласовано в падеже с существительным (истину какую?) и соотносится напрямую с глаголом-сказуемым.

Нарицательное существительное "мышь" есть в словарях. Нужно писать со строчной буквы.

Конечно, согласованная вставная конструкция предпочтительна. Именительный падеж используется лишь тогда, когда корректное согласование затруднено (например, в случае с большими составными и дробными числительными).