Правильно: памятнику Ленина нашли новое место. Подробное объяснение см. в «Словаре трудностей».

Сочетание каждое новое поколение корректно.

Об исторической эпохе: раннее Новое время.

Обе формулировки возможны: новое поколение (автомобилей) BMW и (автомобили) BMW нового поколения.

Тату – несклоняемое существительное среднего рода: такое новое тату.

Ни то, ни другое, ни третье. Овощь с мягким знаком на конце – собирательное существительное женского рода, которое употребляется в народной речи в том же значении, что и слово овощи: растет на огороде овощь всякая (=растут разные овощи). Это слово отнюдь не новое, его можно встретить, например, в поэме Некрасова «Кому на Руси жить хорошо»: Вся овощь огородная Поспела: дети носятся Кто с репой, кто с морковкою...

Поскольку причастный оборот стоит после определения-прилагательного профессиональные и перед определяемым словом инженеры, между определениями нужна запятая (см. параграф 38 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Профессиональные, сертифицированные производителем инженеры помогут смонтировать новое оборудование.