Во веки веков – вечно, всегда.
Верно: ...века (в единственном числе).
Корректно: Во второй половине XVIII — XIX веке.
Пример относится к случаям, когда «перечисляемые разновидности предметов или явлений внутренне связаны» (см. пункт 4 параграфа 194 «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию»). Существительное здесь употребляется в единственном числе: Нанесите тени на верхнее и нижнее веко.
Правильно: в конце XIX – начале XX века.