Орфографически и грамматически корректно: факт непроживания. Обратите внимание: приведенный Вами оборот — канцелярский.

Выражение некорректно (факт не может быть лживым или правдивым).

Оба варианта корректны, однако первый оборот чаще употребляется с местоимением сам/самый: Вначале их забавлял самый принцип кинематографии, их смешил самый факт того, что живые люди движутся на полотне [Е. Петров. Остров мира. Комедия в 4 актах (1947)]; — Кирилл, — в голосе Романа Артуровича мелькнула усталость, — но разве сам факт того, что мы признаём прослушивание, не является свидетельством нашей честности перед партнёрами? [Алексей Иванов (Алексей Маврин). Псоглавцы. Гл. 21-39 (2011)]. 

Это сложное предложение, запятая нужна.

Возможны сведения, сообщения о факте. Факт - не сведение.

Правильно: тапка, тапочка. Это существительные женского рода: одна тапка, старая тапочка.

По основному правилу тире не требуется, так как подлежащее выражено личным местоимением. Однако нужно показать, что слово оба относится к подлежащему, поэтому написание с тире предпочтительно.

Возможны оба варианта. Вариант с винительным падежом (первый) больше характерен для разговорной речи, с родительным (второй) – для книжной речи.

Следует писать раздельно, так как при причастиях есть зависимое слово наукой. Вы написали верно.