Это новое слово, и норма его написания еще не устоялась: пишут и через з, и через с. Сказать, что предпочтительнее, пока затруднительно. Написание с прописной буквы оправданно, т. к. это название исторического события. Кавычки на данном этапе жизни слова не нужны.

Запятая не нужна. Лучше поставить тире.

Оба слова нужно писать с заглавной буквы, если топоним относится не к горе, а любому другому объекту (поселку, деревне, улице и проч.). Ср.: район Соколиная Гора, поселок Николина Гора. Если же названный объект — это именно гора, то слово гора должно записываться со строчной буквы как нарицательное существительное. В этом случае названием будет только слово Синяя. Другие примеры: Поклонная гора, Соборная гора. Однако заметим, что в топонимии России существуют такие названия, которые включают в себя географические термины, указывающие на тип объекта, например в Челябинской области есть гора Доменная Гора. Написание названий природных географических объектов и населенных пунктов России можно установить с помощью Государственного каталога географических названий. 

Указанная запятая не нужна.

В особом стилистическом употреблении - можно. Но не следует этим злоупотреблять.

Если речь идет не об официальном названии мероприятия, то слова круглый стол пишутся с маленькой буквы, например: специалисты приняли участие в круглом столе по вопросам экологии.