Исторически это однокоренные слова. В современном языке смысловая связь между ними утрачена, поэтому считать их однокоренными нельзя. В слове находка выделяется корень наход-.

Между глаголом в личной форме и примыкающими к нему инфинитивами никакие знаки препинания не требуются: Но не забывают они потолкаться, побороться, поспорить. Обобщающее слово должно быть в той же форме, что и однородные члены предложения, образующие перечислительный ряд, например: Но не забывают они пообщаться: потолкаться, побороться, поспорить.

Слово женщин употреблено в обобщенно-собирательном значении. Вводное слово похоже указывает на то, что автор высказывания не уверен полностью в его достоверности, но считает его содержание весьма вероятным.

По правилам при переносе нельзя отрывать гласную букву от предшествующей согласной, если эта согласная буква — не последняя буква в приставке. При этом в правилах не уточняется, должна ли эта приставка предшествовать именно корню. В отсутствие явного запрета на подобный перенос на стыке двух приставок его, полагаем, можно считать возможным.

Нет, так его назвать нельзя. Верно: филолог-русист; филолог, специалист по русскому языку.

Запятая на стыке союзов в данном случае нужна. Изъятие придаточной части не должно приводить к структурной дефектности предложения, но не может гарантировать его семантической полноценности. См. об этом у Д. Э. Розенталя, который, анализируя предложение Григорий… с трудом удержал коня и, когда последняя сотня, едва не растоптав Степана, промчалась мимо, подскакал к нему, пишет: «…при изъятии придаточной части с союзом когда предложно-именное сочетание к нему становится неясным, но в структурном отношении такое изъятие возможно, поэтому запятая между сочинительным и подчинительным союзами в подобных случаях обычно ставится».

Да, род в таком случае указывается. Но следует помнить, что у существительных, не имеющих форм единственного числа (ножницы, сливки), род определить нельзя. Они вне родовой характеристики.

Верно: не одна из сотен. Выражение ни на грош обычно используется, когда хотят сказать, что нечто отсутствует: ни на грош пользы / толку / ума / воображения / дела / веры и т. д. Для иллюстрации приведем цитаты из братьев Стругацких: «И ни у кого из нас ни на грош диалектики»; «Не исключено также, что где-нибудь в девятьсот шестом или, скажем, в девятьсот первом году набрел на него таежный охотник и долго потом рассказывал об этом приятелям, которые, как и следует быть, ни на грош ему не верили».

Вводное слово далеко не всегда можно безболезненно убрать из предложения. Основной критерий отнесения слова (сочетания) к вводным — семантика: вводные слова и сочетания выражают разного рода субъективные смыслы, которые исходят от говорящего (реже — от какого-то другого субъекта). Например, слово может в приведенных контекстах выражает предположение (Может, и нет) либо допущение чего-либо (Я, может, и не ценитель...). Подробнее см. ответ на вопрос № 320778.

Это диалектно-просторечное слово, пробивающее себе путь в непринужденную устную речь носителей литературного языка. В словари литературного языка оно не включено. На экзамене его использовать нельзя, в письменной речи желательно его избегать или использовать с большой осторожностью.