Буквально: идти куда-либо (расходиться) лучше утром.

Правильно: во исполнение (=ради исполнения).

Запятая перед как нужна. Обороты с союзом как выделяются запятыми, если в основной части предложения имеется указательное слово «такой».

Это выражение пишется строчными буквами.

Это слово не зафиксировано словарями и недостаточно освоено русским языком. Но его склонение возможно.

Ваше наблюдение верное: предложное сочетание тренер по (чему-либо) включает существительное, обозначающее вид спортивной деятельности. Очевидно, что выражение тренер по вратарям к такому ряду номинаций не относится. По сравнению с ним, словосочетание тренер вратарей и в смысловом, и в грамматическом отношении совершенно корректно. Однако это словосочетание не передает ясно и отчетливо ту идею, какая объединяет сочетания с предлогом по, — идею специализации тренеров, их профессионального деления с учетом конкретной практики. При необходимости обозначить специализацию (важный аспект в профессиональной коммуникации) выручают нестандартные обороты, такие как тренер по вратарям (ср. также в бизнес-среде тренер по персоналу).

Предпочтительно: тревога за детей.