Правилен второй вариант. Быстро тающее представляет собой сочетание наречия с причастием, а не сложное прилагательное. Глагольные признаки формы тающее актуализируются благодаря относящемуся к ней обстоятельству на солнце.
На наш взгляд, лучше: мороженое с пармезаном.
Здесь есть ответ: Ответы на задания Олимпиады.
Вы написали верно, с одним н.
Это отглагольное прилагательное.
Правильно: йогуртовое.