Орфографический словарь
См. https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pismovnik/kakoy-padezh-nuzhen-pri-otritsanii
Корректны оба варианта, однако между ними есть некоторая разница в семантике, так как винительный падеж подчеркивает конкретность объекта.
Да, если в каком-либо произведении действует такой персонаж и автор относит его к именам собственным, он вправе написать имя персонажа с прописной: птица Феникс.
Здесь уместна форма ед. ч. сказуемого.
Птицы - также животные. Может быть, имеются в виду млекопитающие и птицы?
Стилистически нейтрально: бояться кого-чего (родительный падеж); в разговорной речи возможно: бояться кого (винительный падеж). Таким образом, нейтрально: боюсь твоей мамы, в непринужденной речи допустимо: боюсь твою маму.
Правильно: поймать птицу. Слова споймать нет в русском литературном языке.
Эти сочетания корректны, но могут быть нюансы в том или ином контексте.
Правильно: погодков.
