Запятая не требуется. Деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия (лечись как?) и не обособляется.
Всё верно.
Корректно слитное написание.
Оба варианта верны.
Это сочетание не требует кавычек. Можно сказать: внести в лист ожидания.