Запятая не требуется. Деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия (лечись как?) и не обособляется.
Корректно слитное написание.
Всё верно.
Это сочетание не требует кавычек. Можно сказать: внести в лист ожидания.
Оба варианта верны.