Прямая речь достаточно автономна по отношению к словам автора, чтобы не применять к этому случаю правило об общей части бессоюзного сложного предложения. Запятая перед и внутри прямой речи нужна.

В русском просторечии - есть. В русском литературном языке - нет.

Правильно: класть, положить.

Ответом на Ваш вопрос могут служить следующие слова из предисловия к «Русскому орфографическому словарю»: «Наряду с активной общеупотребительной лексикой в словарь включаются просторечные, диалектные (областные), жаргонные, устарелые слова, историзмы – в той мере, в какой эти категории слов отражаются в художественной литературе, в газетно-публицистической и разговорной речи».

Иными словами, просторечная лексика встречается в «Русском орфографическом словаре» (на нашем портале представлена электронная версия, в печатном издании тоже есть слово покласть), ибо ее написание тоже должно быть кодифицировано: такие слова могут употребляться в художественной литературе как изобразительное средство. И действительно употребляются:  Неужели же он и навоз-то на воза покласть не может? (А. Сухово-Кобылин, Свадьба Кречинского); Голову свою покласть, но вы у меня будете жить хорошо (В. Шукшин, Калина красная). Кроме того, некоторые слова, ныне относимые к просторечию и диалектизмам, прежде входили в состав литературного языка, их можно обнаружить в произведениях писателей-классиков.

Отметим: вопрос о том, в какой мере должны (и должны ли) быть представлены в нормативном орфографическом словаре просторечные, диалектные, жаргонные слова, является дискуссионным в современной лексикографии. Высказываются полярные мнения: либо словарь должен регламентировать только правописание слов, составляющих ядро литературного языка, либо он должен максимально охватывать языковые единицы, в том числе находящиеся за рамками литературного языка (орфографический словарь – не справочник по стилистике, просторечные, жаргонные слова, профессионализмы, диалектизмы – тоже факт языка, их написание тоже должно быть регламентировано).

"Справка" не выполняет домашних заданий.

Глагол ложить, конечно же, существует. Но он относится к просторечным словам, в речи грамотных носителей русского языка употребление этого слова не допускается. Когда говорят, что такого слова «нет» в русском языке, имеют в виду, что его нет в литературном языке.

В случае если подчеркивается отрицание, не правда следует писать раздельно как в вопросительных, так и в повествовательных предложениях.

Что касается второго примера, то в нем выражается утверждение признака, поэтому неправда пишется слитно. В данном случае нельзя руководствоваться только формальным строением предложения (наличием слова разве). Как сказано в академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина, пишущий должен отдавать себе отчет в том, что он хочет выразить: отрицание признака или утверждение признака. От выбора написания будет зависеть и понимание написанного читающими.

Ложусь напрасно режет слух, это не ошибка. Ложусь – форма глагола ложиться, этот глагол (в отличие от ложить) входит в состав современного русского литературного языка.

Дополнительные знаки препинания не требуются. Однако обратите внимание, что сочетание каждое осуждение некорректно. Кроме того, сочетание разрывают его на части в данном случае не вполне уместно. Предложение следует перестроить.

Существует, но не в литературном языке. Ложить – просторечие.