Произведем несложный синтаксический разбор. Главное слово сочетания — день, от него задаем вопросы к зависимым словам и ставим их в нужную форму: день чего? — рождения, день какой? — красивый. Итог: красивый день рождения. О склонении сочетания день рождения см. ответ на вопрос № 249988.
Грамматически корректно: родился красивым.
В первом случае запятая факультативна, во втором - нужна.
Верны оба варианта.
Вариант красивее общеупотребительный и стилистически нейтральный, красивей – разговорный.
Исторически это родственные слова, но в современном языке красный ‘цвета крови’ и красивый не являются однокоренными словами.
2. Правильно: Из окон открывается красивый вид.
Запятая не нужна: Не сказать чтобы очень красивый, но...
Согласно «Грамматическому словарю русского языка» А. А. Зализняка, Килиманджаро может употребляться как существительное мужского рода и как существительное женского рода (видимо, из-за влияния двух родовых слов: вулкан / гора).
