Оба варианта верны.
Возможны оба варианта. Выбор зависит от контекста.
Правильно, если Е произносится как редуцированный гласный.
Конечно, сочетания апрель месяц, май месяц и т. п. лексически избыточны, но они широко используются в канцелярской (деловой) речи и – главное – уже зафиксированы словарями русского языка. Поэтому ошибкой такое употребление считать нельзя, хотя по возможности его лучше избегать (особенно в живой речи).
Правильно: в самые короткие сроки, в кратчайшие сроки, в минимальные сроки.
Если имеется в виду, что экскурсия будет длиться месяц, то верно: на месяц.
Нет, такой перенос некорректен.
Такие сочетания употребительны в канцелярской речи.