Кавычки нужны: они указывают на употребление слова не в своем обычном значении.
Ответы можно найти в окне «Искать на Грамоте», набрав, например, гре*а, индус* и т. д.
Допустимы оба варианта склонения: без выпадения гласного (Коренеца, Коренецу) и с выпадением гласного (Коренца, Коренцу). В официальных документах предпочтительно использовать первый вариант.