Общую рекомендацию дать нельзя. Выбор написания будет предопределяться в каждом конкретном случае контекстом: в одном случае переводная фраза может осмысляться как название, в другом — как толкование значения. В первой приведенной Вами фразе видится возможным двоякое осмысление и, соответственно, написание: Японию часто называют Land of the Rising Sun — Страна восходящего солнца (название) и Японию часто называют Land of the Rising Sun — «страна восходящего солнца» (= что означает...). Во втором примере вводится переводное название, которое оформляется кавычками: американская компания Apple (в переводе — «Яблоко»).
Выбирать форму глагола следует по родовому слову компания: Apple пригласила.
Корректно: "яблочная" компания.
Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.
См. в «Словаре трудностей».
Корректно: мультимедийная компания, мультимедиакомпания.
Верно: об Apple.
Выбор зависит от значения. Компания – объединение (напр.: акционерная компания, нефтяная компания). Кампания – деятельность (напр.: посевная кампания, избирательная кампания).
См. в «Словаре трудностей»: Компания и кампания.
См. «Словарь трудностей».
