Верно: Брайтон-Бич.
Верно: против бывшего госсекретаря Хиллари Клинтон.
Клеймо, -а; мн. клейма, клейм.
В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой содержится рекомендация ставить иноязычную фамилию в форму единственного числа, если она сопровождается словами супруги, семья. Рекомендаций об употреблении фамилии при слове чета в справочнике нет, но логично предположить, что и в этом случае предпочтительно единственное число.
Кавычки не нужны. Хотя метафора, на наш взгляд, не самая удачная.
Правильно со строчной: госсекретарь.
Предложение построено не вполне корректно (причастный оборот в конце следует заменить на другую конструкцию). Поэтому мы не можем дать рекомендаций о расстановке знаков препинания.
