Правильно: прочитать "Евгения Онегина".
Во всех приведенных Вами примерах верно написание строчными.
Правильно: Евгении.
Правильно: читать «Евгения Онегина».
Правильно: о Евгении Ивановиче.
Таких людей можно назвать тёзками.
Топоним Суоя́рви не склоняется, а название города Сортава́ла изменяется: жить в Сортавале, приехать из Сортавалы, вспоминать Сортавалу и т. д.
Корректно с запятой: Эх, Евгений, Евгений...
Мужская фамилия Кунц склоняется: Евгения Кунца, Евгению Кунцу и т. д.