Кавычки не нужны.
Правильно: Московский казачий кадетский корпус, Университет Российской академии образования. Написание аббревиатуры прописными буквами вовсе не означает, что слова, представляющие собой расшифровку аббревиатуры, также пишутся с прописных букв.