Правильно: Пушкинский заповедник.
Название заповедника Столбы в кавычки не заключается.
Да, тире необходимо.
Правильно: государственный музей-заповедник (прилагательное государственный относится к обеим частям наименования "музей-заповедник").
Да, Вы правы. Кавычки уместны.
Корректно: заповедник «Три столба», «Томские стоянки».