Корректно написание строчными буквами.
Оба варианта возможны.
Верно: сельский Дом культуры (если слово сельский не входит в официальное название учреждения).
Кавычки в этом случае не требуются. Ср.: село Лесное.
Названия без родового слова склоняются: работаю на "Красноармейце" проинформировал "Горожанина", "Сельского курьера". Но: работаю на заводе "Красноармеец", проинформировал газеты "Горожанин" и "Сельский курьер".
Москвич в значении 'автомобиль' – неодушевленное существительное: сел в москвич.
В именительном и винительном падежах верно: 24 сельских поселения.
Корректно: тульский самовар, тульские пряники.
Словарной фиксации нет. Корректно по аналогии с село – сельский – сельчанин: аул – аульский – аульчанин.
Нет, оставшаяся после сокращения часть слова должна оканчиваться на согласный. Если перед отсекаемой частью слова стоит мягкий знак, то при сокращении он отсекается. Например, польский – пол. (не поль.), сельский – сел. (не сель.).