Правильны оба варианта. См. в учебнике Е. И. Литневской, раздел «Глагол. Вид как морфологический признак глагола».
Да, от глагола действительного залога класть образуется глагол страдательного залога класться, являющийся стилистически нейтральным. Например: чемодан кладется на нижнюю полку, на верхнюю полку чемодан не кладется.
Правильно: Не хлебом единым.
На месте скобок ставится запятая.
Верно: Я не сделал кое-чего, что сделал бы Вася.
Корректно: не нести ответственности за что-либо.
Верен второй вариант.