Нужно склонять оба слова.
В значении 'осуществлять' верен второй вариант.
Сочетание вести дозор неудачно. Можно нести дозор, стоять или находиться в дозоре, уйти, выйти в дозор.
Оба варианта правильны.
Правильно: вести из думы.
См. форму единственного числа: весь.
Корректно: ...в возрасте шести с половиной лет, шести лет и шести месяцев.
Корректно: не нести ответственности за что-либо.
Правильно: не могу не согласиться, т. е. 'должен согласиться'.