Корректно: Они верят, что Прекрасная Россия Будущего непременно появится/возникнет.
Одно из зафиксированных нормативными словарями значений глагола проходить в современном русском литературном языке — "регулярно происходить, иметь место где-л., напр.: Книжные ярмарки в Лейпциге проходят ежегодно". Так что выражение "мероприятие пройдет тогда-то" вполне уместно.
Трудно судить о корректности фразы без контекста. Если от него абстрагироваться - да, такое сочетание может иметь место.
Такое употребление корректно. Глагол царить используется здесь в знач. 'иметь место; преобладать, господствовать'.
Фактически сленг и жаргон - полные синонимы. Нам неизвестно, чтобы кто-либо из языковедов проводил четкую грань между этими терминами, хотя в отдельных (специализированных) научных работах такое условное разграничение может иметь место. При общезначимом понимании этих терминов принципиальных различий между ними нет.