Верно только: записаться на мастер-класс.
Верны оба варианта.
Лучше избегать таких конструкций. Возможны замены: круглый стол "Название"; круглый стол, посвященный вопросам (проблемам); круглый стол по вопросам и т. д.
Запятая не нужна. Обстоятельство времени в начале предложения не обособляется.
Перед союзом когда ставится запятая, так как он начинает придаточное предложение.
Запятая не нужна. Если два однородных члена предложения с союзом и образуют тесно связанную по смыслу пару, соединенную союзом и с третьим однородным членом, запятая не ставится: Врач выписал и оставил листок нетрудоспособности и порекомендовал записаться на прием в поликлинику (парная группа выписал и оставил с общим второстепенным членом листок нетрудоспособности).
Формулировка некорректна. Возможный вариант: Можно записаться на прием лично или по телефону.
Нет, правильно: к какому доктору.
Постановка тире не требуется.
Смысл предложения неясен, поэтому сложно дать рекомендации о том, как расставить знаки препинания. Пожалуйста, переформулируйте предложение.