Это разговорное слово нужно заключать в кавычки, если необходимо подчеркнуть его стилистическую чуждость контексту, в который оно помещено. Также кавычки могут показать читателю, что это слово не из лексикона автора, что это заимствование из чужой (например, детской) речи. Ср.:

Побегать с друзьями, посмотреть телевизор, а домашка ― дело десятое, ― рассказывал в 2000 году его отец, Андрей Мстиславович.

В идеале, ученик должен понимать, по какой схеме будет выполняться «домашка», чтобы не тратить время на выяснение принципа подготовки к следующему уроку.

Указанная запятая нужна.

Да, оба выражения корректны. Слово «дедушка» обозначает родственные отношения, а «старый» и «молодой» — это определения, указывающие на возраст. 

Корень: подушк-, окончание: -а.

Девушка-кондуктор. Кондукторша - в разговорной речи.

Правильно: ООО «Торговая компания "Ромашка"». Допустимое написание (если нет возможности использовать кавычки разного рисунка): ООО «Торговая компания «Ромашка».