Само по себе сочетание избыточно, решать нужно не вопрос правописания, а вопрос словоупотребления. Недолеченный - прич. от глагола недолечить (т. е. не довести дело до конца).
1. Верно слитное написание. 2. Склоняются оба слова.
Помешенный - причастие от глагола помесить. Можно ли помесить суп?
Правильно: какОМ? выполняемОМ.
Оба варианта корректны.