Добавим, как только найдется более или менее обоснованная версия происхождения этого выражения. Пока что все больше домыслы.
Верно: пойти в бассейн. В разговорной речи в значении "начать заниматься в бассейне" - пойти на бассейн.
Общеупотребительно: внутрь. Вариант вовнутрь разговорный (это слово пишется слитно).
Ударение остается на корне: до ко́сти.
Оба варианта отвечают литературной норме.
Глаголы пойти, уйти, прийти, выйти являются самостоятельными словами, а не формами одного слова. Это однокоренные глаголы, производные от глагола идти (корень -ид-); в производных глаголах пойти, уйти, прийти, выйти корень производящего глагола представлен вариантом (алломорфом) -й-.
Правильно: в изнеможенье, в исступленье. Подробнее о таких случаях см. в ответе на вопрос № 176838.
