Нет, слова "лектор", "доктор" и "дипломат" являются существительными мужского рода. Однако они могут использоваться для обозначения лиц любого пола, хотя грамматический род при этом остается неизменным.
См. в «Словаре трудностей».
Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.
Запятая не нужна, т. к. приложения директор и доктор наук неоднородные: директор – должность, доктор наук – ученая степень.
Воспользуйтесь, пожалуйста, ресурсом «Проверка слова».
Название должности (директор) и ученая степень (доктор) запятой не разделяются (это неоднородные приложения).
Корректно сокращение д. т. н.
Оба варианта верны. В первом предложении можно использовать деепричастный оборот, так как он относится к инфинитиву найти.
