"Куда путь держишь?" - куда направляешься.
Правильно: сколько веревочке ни виться...
Оба варианта возможны.
Правильно: ни виться.
В этой пословице пишется частица НИ.
Лучше переформулировать фразу, например, так: Двери лифта должны быть полностью открыты.