Правильно написание строчными: ближнее зарубежье, дальнее зарубежье.
Слова ближнее зарубежье и дальнее зарубежье следует писать строчными.
Правильно: страны ближнего зарубежья. Сочетания ближнее зарубежье, дальнее зарубежье пишутся со строчных букв, т. к. не являются именами собственными (не представляют собой географические или административно-территориальные названия).