Правильно: Марии. Слова женского рода на -ия в дательном и предложном падеже ед. числа имеют в безударном положении окончание -и: станции, армии, России, Марии.

Громко кивнуть вряд ли получится, но можно что-то говорить и при этом кивнуть головой.

Лучше: награждается грамотой МАОУ "Зареченская школа".

Верно: награждение грамотой Ивановой (но: наградить грамотой Иванову).

Традиционно при описании движений головы в ситуации, когда человек выражает свое несогласие с чем-либо или с кем-либо, используют обороты с глаголом мотать: он отрицательно мотал головой, она опровергающе замотала головой. 

Сочетание японский городовой возникло на основе созвучия первых звуков (яп-) с первыми звуками матерного ругательства (ё...).

Верно: пОднятой.

Оба варианта возможны, но предпочтительно использование формы ед. числа.