Верно: инспекция (где?) в акционерном обществе; проведение инспекции в АО, в ПАО.
Если это название определенного учреждения (например, Государственная жилищная инспекция города Москвы), то первое слово пишется с большой буквы.
Эти сочетания пишутся строчными буквами.
Нет оснований писать это сочетание с большой буквы.
Это выражение пишется строчными буквами.
Нет оснований писать с большой буквы.