Все верно.
Правильно: дарящий.
Верно раздельное написание.
Кавычки не требуются.
Корректно: Могучий Дуб, Сидящий на Реке. В именах все слова, кроме служебных, следует писать с прописной буквы, дефисы ставить не следует, ср.: Петушок со Шпорами (герой сказок), Людвиг ван Бетховен, Леонардо да Винчи.
Да, это продуктивный способ (ср.: курить - курящий, басить - басящий).
Такая замена некорректна: ходящий - причастие, ходячий - прилагательное.
В значении «срочный» – горящий тур. Кавычки не требуются.