В словарных статьях глагола выиграть приводится в качестве примера сочетание выиграть соревнования. Поскольку Лига чемпионов — это название турнира, то есть соревнований, сочетание выиграть Лигу чемпионов нормально для русского языка. 

Обычно эту фразу используют для описания ситуаций, когда команда проигрывала, но сумела перехватить инициативу, мобилизовать свои ресурсы, показать силу духа, преодолеть сопротивление соперника и выиграть матч. Если команда проигрывала и затем легко забила множество голов, это может и не считаться волевой победой, так как здесь отсутствует элемент борьбы или значительных усилий для преодоления сложной ситуации. Однако конкретное использование фразы может зависеть от контекста и оценки ситуации болельщиками, комментаторами или спортивными обозревателями.

Правильный вариант: «Команда выиграла матч в дополнительное время».   

Слово кубок в значении 'награда' пишется строчными: команда выиграла кубок.

Неясен смысл фразы. Имеется в виду, что заявка сначала выиграла конкурс, а потом ее "признали"?

Это безграмотность, причем вопиющая. Правильно только: выиграть у кого-либо. Неправильное употребление возникает, по-видимому, на основе ложной аналогии со словом обыграть, т. к. обыграть можно именно кого-либо: наша команда обыграла москвичей.