Если сочетания по прогнозам/расчетам (кого, чего, чьим) и по данным/сведениям кого/чего/чьим указывают на источник информации, то они являются вводными и выделяются запятыми.

Да, конструкции типа Я бы не стал этого делать вполне нормативны. Частица бы (б) является энклитикой, то есть не имеет собственного ударения и примыкает к предыдущему слову. Чаще всего частица бы (б) занимает либо второе место в предложении, либо место после предиката. Эти свойства частицы бы (б), как указывает А. А. Зализняк, являются следствием того, что в древнерусский период ее функционирование подчинялось закону Ваккернагеля: «…будучи теснейшим образом связана по смыслу со сказуемым, она [частица бы] тем не менее и ныне может уходить от него сколь угодно далеко влево. Наследием ваккернагелевского статуса является также запрет на дистантную постпозицию к сказуемому (возможна только контактная постпозиция); например, невозможно *Он от этого отказался наотрез бы – притом что и после он, и после этого, и после отказался частицу бы здесь поставить можно».

В первом предложении не вполне ясно, к чему относится число 63, поэтому сложно дать рекомендации о знаках препинания. Предложение лучше перестроить.

Возможные варианты пунктуации: Второе место – у гимназистов, третье – у школьников и Второе место у гимназистов, третье – у школьников.

Корректно без кавычек. Слово используется в прямом значении и встречается не настолько редко, чтобы можно было назвать его непривычным, необычным. В практике письма оно обычно употребляется без кавычек.

Тире нужны.

Рекомендации, которые даны в справочнике Д. Э. Розенталя, не являются строгими. Таким образом, верно: первое и второе место, первое и второе места, между первым и вторым местом.

А разве за третье место не нужно бороться?