Предпочтительно: в городке Найденбурге.
Как ответ на вопрос "Где?" - в спортивном городке.
Нет, некорректно.
Вы все написали верно.
Кавычки не нужны.
Верно: ...городке, окончательно умершем в перестройку.
К сожалению, в словарях разнобой. Думаем, правильнее: Славянск-на-Кубани.