Работай - повелительная форма глагола. С работой - существительное в форме творительного падежа.
Оба предложения составлены правильно.
Корректно: применяется в отсутствие людей.
Возможны оба варианта.
Может быть, предложение работы (ср.: предложить работу); предложение, связанное с работой. Каков контекст?
Правильно: ...постройка.