Орфографический словарь
Словарь трудностей
Оба варианта возможны.
Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.
Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). В таких предложениях при наличии паузы ставится тире, при отсутствии паузы знак не нужен.
Обычно используют выражения дать старт (чему-либо), но положить начало (чему-либо).
Правильно: стартап. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Таким документом является словарь личных имен, в котором зафиксированы соответствующие имена.
Верно: стартап-проект.
Название должно писаться так: "На старт". Пойдем в "На старт". В разговорной речи, конечно, предлог исчезнет: пойдем в "Старт", пойдем на "Старт".