Эта аббревиатура употребляется как существительное женского рода (такая фиксация – в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко).
ТЭЦ — это более крупный объект с более широкими функциями. Мы не рекомендуем использовать слова ТЭЦ и котельная как синонимы.
Счастьинская ТЭС.
В разговорной речи мн. ч. возможно.
К сожалению, даже учителя не всегда точно знают правила склонения фамилий. Как и все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный (кроме фамилий типа Черных, Долгих), мужская фамилия Тэц должна склоняться. Правильно в дательном падеже: Тэцу.
Кавычки не требуются: отец математики (то же, что родоначальник, основоположник).
Есть еще несколько случаев, когда после согласных пишется э. Это написание после приставок или составных частей сложных и сложносокращенных слов (предэкзаменационный, сэкономить; двухэтажный, Мосэнерго); написание во многих собственных именах иноязычного происхождения и производных от них словах (Бэкон, Дэвид, Сэлинджер; Мэриленд, Тайбэй, Улан-Удэ, Хуанхэ). Кроме того, э пишется в названиях букв (бэ, вэ, гэ и др.), в составе аббревиатур, пишущихся по названиям букв, и слов, образованных от буквенных аббревиатур, напр.: бэтээры, кавээнщик, гэпэушник, кагэбэшный, в звуковых аббревиатурах и образованных от них словах, напр.: ГЭС, ТЭЦ, ВТЭК, НЭП, втэковский, нэпман.
Но в целом закономерность, о которой Вы говорите, существует. По нормам русской орфографии не в начале корня после букв, передающих твердый согласный, в словах иноязычного происхождения, как правило, пишется буква е (бизнес, бренд, коттедж, партер, стенд, инерция); буква э пишется только в немногих нарицательных существительных, таких как мэр, мэтр, пленэр, пэр, рэкет, рэп, сэр и некоторых других словах (преимущественно узкоспециальных), их круг определяется орфографическим словарем.
Может быть, так: сердце птицы работает..?
Если речь идёт о самостоятельном имени Ата, то оно склоняется как существительное первого склонения: Аты, Ате, Ату, Атой, об Ате.
Если же это компонент имени -ата, тогда он не изменяется: легенда о Коркыт-ата.