Ударение падает на первый слог: осколок кОсти.
Форма родительного падежа: кости.
Правильно: перелом кости.
Ударение остается на корне: до ко́сти.
Правильно, как Вы верно указываете, на берегу. В русском языке есть несколько существительных второго склонения с таким окончанием в предложном падеже со значением места. Ср.: о береге - на берегу, о носе - в носу, о саде - в саду. Падеж один и тот же, окончания (в зависимости от значения падежа) - разные.
Это явление можно назвать разновидностью омонимии (или, как художественный прием, паронимическая аттракция).
Лучше: дни рождения филиалов на правом и левом берегу.
Правильно: перелом лучевой ко́сти.