Верно: Аллах акбар!
Притяжательные прилагательные, образованные от личных имен, пишутся с большой буквы.
Правильно: на Арбате, на улице Арбат.
Оба варианта корректны.
Оба варианта верны.
О происхождении этого названия см. в пособии М. В. Горбаневского «Окликни улицы Москвы».