Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Самый первый в мире детский сад был организован в 1837 году немецким педагогом Фридрихом Вильгельмом Августом Фрёбелем, ему же принадлежит и название.
Верно с тире: детский сад — партнер.
Да, Вы правы. Кавычки уместны.
Лучше: дет-ский.
Запятая не нужна.
Корректно: врач-стоматолог детский; врач -- детский стоматолог.