Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Да, Вы правы. Кавычки уместны.
Самый первый в мире детский сад был организован в 1837 году немецким педагогом Фридрихом Вильгельмом Августом Фрёбелем, ему же принадлежит и название.
Верно с тире: детский сад — партнер.
Орфографически верно раздельное написание, т. к. эко... относится к словосочетанию: эко детский сад.