Вариант анестезиолог существенно более частотен, чем анестезист. Предпочтительно поэтому: врач-анестезиолог, медсестра-анестезиолог. Хотя вариант медсестра-анестезист энциклопедическими источниками также фиксируется.
Верно: осмотр врачом-анестезиологом.