Слово интернационал в значении «международное объединение» пишется со строчной буквы: Третий интернационал (но: 3-й Интернационал), Коммунистический интернационал, Социалистический интернационал (Социнтерн). В значении «гимн» слово Интернационал пишется с прописной буквы.
Правописание надо проверять не по грамматическим, а по орфографическим справочникам. Справочник «Управление» предназначен для решения вопросов, связанных с выбором грамматических форм и предлогов. Написание Первый интернационал фиксирует словарь В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?».
Да, с большой буквы в этом сочетании – только слово Коммунистический.