Такова особенность склонения фамилий на ударный -ин и притяжательных прилагательных на ударный -ин.
Ничего некорректного в формулировке "Какое имя было у Куприна?" нет. Однако формулировка "Имя писателя Куприна" выглядит более удачной, так как в ней нет никакой двусмысленности.
Знаки препинания расставлены правильно.
Малоупотребительное прилагательное наёженный имеет значение "встопорщенный", "взъерошенный".
Да, употребимо. Например, у Куприна:
Подавай, говорит, собаку? Этак что же? Он и луну с неба захочет, так подавай ему и луну? Поди сюда, Арто, поди, моя собаченька. Ну, и денек сегодня задался. Удивительно! ― На что лучше! [А. И. Куприн. Белый пудель (1903)]