Верно: с двумястами сорока тремя работниками.
Правилен второй вариант.
Верно: с 5200 рублями; с пятью тысячами двумястами рублями.
Внутри слова может быть внутренняя флексия (что-то похожее на окончание, например: двУМЯстами), но в приведенных словах ее нет.
Правильно: с 200 нелегалами (двумястами нелегалами). Числительные в косвенных падежах согласуются с существительными, ср.: с двумя нелегалами. Вариант с двумястами нелегалов разговорно-просторечный.
Двумя тысячами двумястами; тремя тысячами.
В составных количественных числительных склоняется каждое слово: с двумястами пятьюдесятью тремя страницами.
Правильно: с двумястами восьмьюдесятью (восемьюдесятью) семью пассажирами.
Правила склонения числительных см. в «Письмовнике». Правильно: с тысячью двумястами тремя, свыше четырех тысяч пятисот слов.